ലോഗരിതം: ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു മഹത്തായ കണ്ടുപിടുത്തം

നമുക്കറിയാം, $$2^3 = 8$$ (രണ്ടിനെ മൂന്ന് തവണ ഗുണിച്ചാൽ എട്ട് ലഭിക്കും: $2 \times 2 \times 2 = 8$).

ഇവിടെ, ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഇതേ ആശയം ഇങ്ങനെ പറയാം: '8 ലഭിക്കാൻ 2-നെ എത്ര തവണ ഗുണിക്കണം?' ഇതിന്റെ ഉത്തരം 3 ആണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഇതിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം: $$\log_2 8 = 3$$ ഇതിനെ വായിക്കുന്നത് 'ലോഗ് എയ്റ്റ് ബേസ് ടു ഈസ് ത്രീ' എന്നാണ്.

ഒരു ലളിതമായ ഉപമ:

'എത്ര തവണ ചവിട്ടിയാൽ ഒരു മരത്തിൽ കയറാൻ പറ്റും?' എന്ന് ചോദിക്കുന്നതിന് സമാനമാണ് ലോഗരിതം. ഇവിടെ മരം ഒരു നിശ്ചിത ഉയരമാണ് (x), ഓരോ ചവിട്ടും ഒരു അടിസ്ഥാന ദൂരമാണ് (b), എത്ര ചവിട്ടുകൾ എന്ന് പറയുന്നത് ലോഗരിതം മൂല്യമാണ് (y).

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ ലോഗരിതം, അവയുടെ വ്യക്തിഗത ലോഗരിതങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. $$\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$$

ഉദാഹരണം: $$\log_{10} (1000) = \log_{10} (100 \times 10) = \log_{10} 100 + \log_{10} 10 = 2 + 1 = 3$$ (കാരണം $10^3 = 1000$, $10^2 = 100$, $10^1 = 10$)

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഹരണഫലത്തിന്റെ ലോഗരിതം, അവയുടെ വ്യക്തിഗത ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്. $$\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$$

ഉദാഹരണം: $$\log_2 \left(\frac{16}{2}\right) = \log_2 16 - \log_2 2 = 4 - 1 = 3$$ (കാരണം $2^4 = 16$, $2^1 = 2$, $2^3 = 8$)

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘാതാംഗത്തിന്റെ ലോഗരിതം, ഘാതാംഗം ലോഗരിതത്തിന്റെ മുൻപിൽ ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലത്തിന് തുല്യമാണ്. $$\log_b (x^p) = p \log_b x$$

ഉദാഹരണം: $$\log_{10} (10^4) = 4 \log_{10} 10 = 4 \times 1 = 4$$

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം മാറ്റുന്നതിന് ഈ നിയമം ഉപയോഗിക്കാം. ഇത് പ്രധാനമായും ഒരു ലോഗരിതം മറ്റൊരു അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് മാറ്റാൻ സഹായിക്കുന്നു. $$\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$$ ഇവിടെ k എന്നത് പുതിയ അടിസ്ഥാനമാണ്.

ഉദാഹരണം: $$\log_4 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 4} = \frac{4}{2} = 2$$ (കാരണം $4^2 = 16$)

അടിസ്ഥാനം 10 ആയ ലോഗരിതത്തെയാണ് സാധാരണ ലോഗരിതം എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത് $\log_{10} x$ എന്ന് എഴുതുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ അടിസ്ഥാനം സൂചിപ്പിക്കാതെ വെറുതെ $\log x$ എന്നും എഴുതാറുണ്ട്. ദശാംശ സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഇത് വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: $$\log_{10} 100 = 2$$ (കാരണം $10^2 = 100$)

ഉപയോഗങ്ങൾ: റിക്ടർ സ്കെയിൽ (Richter Scale) (ഭൂകമ്പത്തിന്റെ തീവ്രത അളക്കാൻ), pH സ്കെയിൽ (pH Scale) (ലായനികളുടെ അമ്ലത്വവും ക്ഷാരത്വവും അളക്കാൻ), ഡെസിബെൽ സ്കെയിൽ (Decibel Scale) (ശബ്ദത്തിന്റെ തീവ്രത അളക്കാൻ).

അടിസ്ഥാനം 'e' (യൂലർ സംഖ്യ - Euler's number, ഏകദേശം 2.71828) ആയ ലോഗരിതത്തെയാണ് നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത് $\ln x$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പ്രകൃതിയിൽ സംഭവിക്കുന്ന പല പ്രതിഭാസങ്ങളുടെയും വളർച്ചയും ക്ഷയവും (growth and decay) വിവരിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: $$\ln e^5 = 5$$ (കാരണം $\log_e e^5 = 5$)

ഉപയോഗങ്ങൾ: കൂട്ടുപലിശ (compound interest), റേഡിയോആക്ടീവ് ക്ഷയം (radioactive decay), ജനസംഖ്യാ വളർച്ച (population growth), സാമ്പത്തിക മോഡലിംഗ് (financial modeling), കാൽക്കുലസ് (calculus).

1. ശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഭൗതികശാസ്ത്രം:

• ഡെസിബെൽ സ്കെയിൽ (Decibel Scale): ശബ്ദത്തിന്റെ തീവ്രതയും ആവൃത്തിയും ലോഗരിതമിക് സ്കെയിലിലാണ് അളക്കുന്നത്. മനുഷ്യന്റെ ചെവി ശബ്ദത്തിലെ മാറ്റങ്ങളെ ലോഗരിതമിക് ആയിട്ടാണ് തിരിച്ചറിയുന്നത്.
• റിക്ടർ സ്കെയിൽ (Richter Scale): ഭൂകമ്പത്തിന്റെ തീവ്രത അളക്കുന്ന ഈ സ്കെയിൽ ലോഗരിതമിക് ആണ്. റിക്ടർ സ്കെയിലിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് വർദ്ധനവ് എന്നാൽ ഭൂകമ്പത്തിന്റെ തീവ്രത 10 മടങ്ങ് വർദ്ധിച്ചു എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.
• pH സ്കെയിൽ (pH Scale): ഒരു ലായനിയുടെ അമ്ലത്വമോ ക്ഷാരത്വമോ അളക്കുന്ന pH സ്കെയിലും ലോഗരിതമിക് ആണ്. ഒരു pH മൂല്യം മാറുമ്പോൾ, ഹൈഡ്രജൻ അയോൺ സാന്ദ്രത 10 മടങ്ങ് വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു.
• ജ്യോതിശാസ്ത്രം: നക്ഷത്രങ്ങളുടെ പ്രകാശതീവ്രത (brightness) അളക്കുന്നതിൽ ലോഗരിതങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
• ശബ്ദ പ്രോസസ്സിംഗ് (Audio Processing): ഓഡിയോ കംപ്രഷൻ, ഇക്വലൈസേഷൻ എന്നിവയിൽ ലോഗരിതമിക് സ്കെയിലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

2. ധനകാര്യം (Finance):

• കൂട്ടുപലിശ (Compound Interest): ഒരു നിക്ഷേപം എത്ര വർഷം കൊണ്ട് ഒരു നിശ്ചിത തുകയായി വളരുമെന്ന് കണക്കാക്കാൻ നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം സഹായിക്കുന്നു.
• ഓഹരി വിപണിയിലെ വളർച്ചാ നിരക്കുകൾ (growth rates) വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനും ലോഗരിതങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം.

3. കമ്പ്യൂട്ടർ ശാസ്ത്രം (Computer Science):

• അൽഗോരിതം കോംപ്ലക്സിറ്റി (Algorithmic Complexity): ഡാറ്റാ ഘടനകളുടെയും അൽഗോരിതങ്ങളുടെയും കാര്യക്ഷമത അളക്കാൻ ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ബൈനറി സെർച്ച് (binary search) അൽഗോരിതത്തിന്റെ സമയ സങ്കീർണ്ണത O(log n) ആണ്.

  
  def binary_search(arr, target):
      low = 0
      high = len(arr) - 1
      while low <= high:
          mid = (low + high) // 2
          if arr[mid] == target:
              return mid
          elif arr[mid] < target:
              low = mid + 1
          else:
              high = mid - 1
      return -1
                  

• ഡാറ്റാ കംപ്രഷൻ (data compression) അൽഗോരിതങ്ങളിലും ലോഗരിതങ്ങൾ ഒരു പ്രധാന ഘടകമാണ്.

4. ജീവശാസ്ത്രം (Biology):

• ബാക്ടീരിയകളുടെ വളർച്ചാ നിരക്ക് പോലുള്ള എക്സ്പോണൻഷ്യൽ വളർച്ചാ മോഡലുകൾ വിശകലനം ചെയ്യാൻ നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.