മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം: സാധ്യതകളുടെ കളിയും യുക്തിയുടെ വെല്ലുവിളിയും

മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം (Monty Hall Problem) എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ സാധ്യതകളെക്കുറിച്ചുള്ള (probability) ഒരു പ്രശസ്തമായ പ്രോബബിലിറ്റി പസിലാണ്. 1960-കളിലെ അമേരിക്കൻ ഗെയിം ഷോയായ 'Let's Make a Deal'-ൽ നിന്നാണ് ഈ പ്രശ്നം ഉടലെടുത്തത്. ഈ പസിൽ പലപ്പോഴും നമ്മുടെ സാധാരണ യുക്തിക്ക് വിരുദ്ധമായി തോന്നുന്ന ഒരു നിഗമനത്തിലേക്ക് നമ്മെ എത്തിക്കുന്നു, ഇത് സാധ്യതകളെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ ധാരണകളെ വെല്ലുവിളിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം എന്താണ്?

മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം ലളിതമായ ഒരു ഗെയിം ഷോ സാഹചര്യം അവതരിപ്പിക്കുന്നു. ഇത് മനസ്സിലാക്കാൻ താഴെ പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുക:

• മൂന്ന് വാതിലുകൾ: നിങ്ങൾക്കു മുന്നിൽ അടഞ്ഞ മൂന്ന് വാതിലുകളുണ്ട്. ഒരു വാതിലിനു പിന്നിൽ ഒരു പുതിയ കാറുണ്ട് (വലിയ സമ്മാനം), മറ്റ് രണ്ട് വാതിലുകൾക്ക് പിന്നിൽ ഓരോ ആടുകൾ (goats - ചെറിയ സമ്മാനം അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല) ഉണ്ട്.
• ആദ്യ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്: നിങ്ങൾ ഈ മൂന്ന് വാതിലുകളിൽ നിന്ന് ഒരു വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, വാതിൽ നമ്പർ 1.
• മോണ്ടിയുടെ വെളിപ്പെടുത്തൽ: ഗെയിം ഹോസ്റ്റ് (മോണ്ടി ഹാൾ), കാറ് എവിടെയാണെന്ന് അറിയുന്ന വ്യക്തിയാണ്. നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാത്ത മറ്റ് രണ്ട് വാതിലുകളിൽ നിന്ന് ആടുള്ള ഒരു വാതിൽ അദ്ദേഹം തുറക്കുന്നു. (ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ 1-ാം നമ്പർ വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തു, മോണ്ടി 3-ാം നമ്പർ വാതിൽ തുറന്നു, അതിനു പിന്നിൽ ഒരു ആടുണ്ടായിരുന്നു).
• മാറാനുള്ള അവസരം: ഇപ്പോൾ, മോണ്ടി നിങ്ങളോട് ചോദിക്കുന്നു: "നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ ആദ്യ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് മാറ്റി അവശേഷിക്കുന്ന അടഞ്ഞ വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കണോ, അതോ ആദ്യത്തേതിൽ തന്നെ ഉറച്ചുനിൽക്കണോ?"

സാധാരണ യുക്തി vs. യാഥാർത്ഥ്യം

മോണ്ടി ഒരു വാതിൽ തുറന്നു കഴിഞ്ഞാൽ, ബാക്കിയുള്ള രണ്ട് അടഞ്ഞ വാതിലുകൾക്ക് പിന്നിൽ കാറ് വരാനുള്ള സാധ്യത 50/50 ആണെന്ന് പലരും ആദ്യം ചിന്തിക്കാറുണ്ട്. 'ഇപ്പോൾ രണ്ട് വാതിലുകൾ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, അപ്പോൾ ഓരോ വാതിലിനും കാറ് വരാനുള്ള സാധ്യത പകുതിയാണല്ലോ' എന്ന് അവർ ചിന്തിക്കുന്നു. എന്നാൽ, ഇത് തെറ്റായ ഒരു നിഗമനമാണ്!

മോണ്ടിക്ക് കാറ് എവിടെയാണെന്ന് അറിയാമെന്നതും, അദ്ദേഹം എല്ലായ്പ്പോഴും നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാത്തതും ആടുള്ളതുമായ ഒരു വാതിൽ മാത്രമേ തുറക്കൂ എന്നുമുള്ള വസ്തുതയാണ് ഇവിടെ കളിയുടെ ഗതി മാറ്റുന്നത്. ഈ പുതിയ വിവരമാണ് നമ്മുടെ സാധ്യതകളെ സ്വാധീനിക്കുന്നത്.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ വിശദീകരണം: എന്തുകൊണ്ടാണ് മാറുന്നത് നല്ലത്?

ആദ്യഘട്ടം: വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു

നിങ്ങൾ ഒരു വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ (ഉദാഹരണത്തിന് വാതിൽ A), ഓരോ വാതിലിനും കാറ് വരാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണ്:

• വാതിൽ A (നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തത്) കാറ് വരാനുള്ള സാധ്യത: $$\frac{1}{3}$$
• വാതിൽ B (നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാത്തത്) കാറ് വരാനുള്ള സാധ്യത: $$\frac{1}{3}$$
• വാതിൽ C (നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാത്തത്) കാറ് വരാനുള്ള സാധ്യത: $$\frac{1}{3}$$

ഇതിനർത്ഥം, നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത വാതിലിന് പിന്നിൽ കാറ് വരാനുള്ള സാധ്യത $$\frac{1}{3}$$ ആണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാത്ത മറ്റ് രണ്ട് വാതിലുകൾക്ക് പിന്നിൽ കാറ് വരാനുള്ള മൊത്തം സാധ്യത:

$$ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$

ആണ്.

രണ്ടാം ഘട്ടം: മോണ്ടി ഒരു വാതിൽ തുറക്കുന്നു

ഇവിടെയാണ് നിർണ്ണായകമായ വ്യത്യാസം വരുന്നത്. മോണ്ടി ഒരു ആടുള്ള വാതിൽ തുറക്കുമ്പോൾ, അത് വെറുമൊരു യാദൃശ്ചികമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പല്ല. അദ്ദേഹത്തിന് കാറ് എവിടെയാണെന്ന് അറിയാം, കൂടാതെ അദ്ദേഹം താഴെ പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ പാലിക്കുന്നു:

• അദ്ദേഹം ഒരിക്കലും നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത വാതിൽ തുറക്കില്ല.
• അദ്ദേഹം ഒരിക്കലും കാറുള്ള വാതിൽ തുറക്കില്ല.
• അദ്ദേഹം എല്ലായ്പ്പോഴും ആടുള്ള ഒരു വാതിൽ മാത്രമേ തുറക്കൂ.

മൂന്നാം ഘട്ടം: മാറണോ അതോ ഉറച്ചുനിൽക്കണോ?

രണ്ട് സാധ്യതകൾ:

• മാറുന്നില്ലെങ്കിൽ (Stay): നിങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ ആദ്യ തിരഞ്ഞെടുപ്പിൽ തന്നെ ഉറച്ചുനിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ വിജയസാധ്യത ഇപ്പോഴും ആദ്യമുണ്ടായിരുന്ന $$\frac{1}{3}$$ മാത്രമാണ്. മോണ്ടി വാതിൽ തുറന്നതുകൊണ്ട് നിങ്ങളുടെ ആദ്യ തിരഞ്ഞെടുപ്പിന് കാറ് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത മാറിയിട്ടില്ല.
• മാറുന്നെങ്കിൽ (Switch): നിങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് മാറ്റി, മോണ്ടി തുറക്കാതെ അവശേഷിക്കുന്ന മറ്റൊരു വാതിലിലേക്ക് മാറാൻ തീരുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ വിജയസാധ്യത $$\frac{2}{3}$$ ആയി വർദ്ധിക്കുന്നു. എന്തുകൊണ്ട്?

നിങ്ങൾ ആദ്യമായി ഒരു വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തപ്പോൾ, ആ വാതിലിൽ കാറ് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത $$\frac{1}{3}$$ ആയിരുന്നു. നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാത്ത മറ്റ് രണ്ട് വാതിലുകളിൽ കാറ് ലഭിക്കാനുള്ള മൊത്തം സാധ്യത $$\frac{2}{3}$$ ആയിരുന്നു. മോണ്ടി ഒരു ആടുള്ള വാതിൽ തുറന്നു കളയുമ്പോൾ, ആ $$\frac{2}{3}$$ സാധ്യത ഇപ്പോൾ പൂർണ്ണമായും അവശേഷിക്കുന്ന അടഞ്ഞ വാതിലിലേക്ക് കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു. കാരണം, മോണ്ടിക്ക് കാറ് എവിടെയാണെന്ന് അറിയാം, അദ്ദേഹം ഒരു ആടിനെ മാത്രമേ തുറക്കൂ.

ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ: 100 വാതിലുകൾ

ഈ ആശയം കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കാൻ, വാതിലുകളുടെ എണ്ണം 3-ൽ നിന്ന് 100-ലേക്ക് വർദ്ധിപ്പിക്കാം:

• സങ്കൽപ്പിക്കുക, 100 വാതിലുകളുണ്ട്. ഒന്നിന് പിന്നിൽ കാർ, 99-ന് പിന്നിൽ ആട്.
• നിങ്ങൾ ഒരു വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ഈ വാതിലിന് പിന്നിൽ കാറ് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത $$\frac{1}{100}$$.
• കാറ് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാത്ത മറ്റ് 99 വാതിലുകൾക്ക് പിന്നിലായിരിക്കാനാണ് $$\frac{99}{100}$$.
• മോണ്ടി ഇപ്പോൾ, നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാത്ത 99 വാതിലുകളിൽ നിന്ന് 98 ആടുകളുള്ള വാതിലുകൾ തുറന്നു കാണിക്കുന്നു.
• ഇപ്പോൾ രണ്ട് വാതിലുകൾ മാത്രം അടച്ചിരിക്കുന്നു: നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത വാതിലും, നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാത്തതും മോണ്ടി തുറക്കാത്തതുമായ ഒരു വാതിലും.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ വാതിൽ മാറണോ? തീർച്ചയായും! കാരണം, നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാത്ത 99 വാതിലുകൾക്ക് ഉണ്ടായിരുന്ന $$\frac{99}{100}$$ സാധ്യതയെല്ലാം ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്ന ഒരു വാതിലിലേക്ക് കേന്ദ്രീകരിച്ചു. ആദ്യത്തെ വാതിലിന് ഇപ്പോഴും $$\frac{1}{100}$$ സാധ്യത മാത്രമേയുള്ളൂ, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ അടഞ്ഞ വാതിലിന് $$\frac{99}{100}$$ സാധ്യതയുണ്ട്. ഇവിടെ മാറുന്നതിൻ്റെ പ്രയോജനം വളരെ വ്യക്തമാണ്.

ഉപസംഹാരം

മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം നമ്മുടെ സഹജമായ ചിന്തകളെ വെല്ലുവിളിക്കുന്ന ഒരു മികച്ച ഉദാഹരണമാണ്. സാഹചര്യങ്ങളെയും അതിൽ ഉൾപ്പെട്ട വിവരങ്ങളെയും എങ്ങനെ വിലയിരുത്തുന്നു എന്നത് സാധ്യതകളെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ ധാരണയെ സ്വാധീനിക്കുമെന്ന് ഇത് നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു. 'മാറുന്നതിലൂടെ വിജയസാധ്യത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു' എന്ന ഈ പ്രോബബിലിറ്റി പസിൽ, സാധാരണ യുക്തിക്ക് അതീതമായ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ സത്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമ്മെ ബോധവാന്മാരാക്കുന്നു.